Dopo molti anni spesi a difendere Galileo dagli attacchi dell'autorità ecclesiastica e, contemporaneamente, a evitare che l'accademia finisca sotto l'occhio della santa inquisizione, con il 1623 i Lincei vedono finalmente la possibilità di uscire allo scoperto senza temere per l'incolumità della loro istituzione: l'elezione a pontefice del cardinal Maffeo Barberini con il nome di Urbano VIII è il presupposto a questa inversione di tendenza.
Scrive a tal proposito Francesco Stelluti a Galileo

La creatione…del nuovo Pontefice ci ha tutti rallegrati, essendo di quel valore e bontà che V.S. sa benissimo, et fautore particulare de' letterati, onde siamo per havere un mecenate supremo…Preghiamo intanto il Signor Dio che conservi lungo tempo questo pontefice, perché se ne spera un ottimo governo.
(Cart. Linc., p.808.)

Il pontefice, da tempo amico di molti lincei, è uomo dai vasti interessi culturali non ultimi quelli scientifici, tanto che Galileo non esiterà a definire la nuova situazione una "mirabil congiuntura" in una lettera inviata a Federico Cesi datata 9 ottobre 1623:

…Io raggiro nella mia mente cose di qualche momento per la repubblica litteraria, le quali se non si effettuano in questa mirabil congiuntura, non occorre, almeno per quello che si aspetta per la parte mia, sperar d'incontrarne mai più una simile…
(Cart. Linc., n. 683, pp 616-617)

E il momento è realmente propizio per i Lincei, che vedono due dei loro soci, Virginio Cesarini e Giovanni Ciampoli, chiamati a posizioni importanti all'interno della Curia romana, mentre un terzo, Cassiano Dal Pozzo, passa al servizio del cardinal Francesco Barberini, nipote prediletto del pontefice.
Per ringraziare il pontefice della benevolenza verso l'istituzione, i Lincei cooptano nelle loro fila lo stesso cardinale, che sottoscrive l'Albo Linceo il 30 settembre 1623, e offrono in dono al pontefice una copia del Saggiatore di Galileo con una dedica redatta dal Cesarini.

Accanto a nuove ascrizioni, la mirabil congiuntura imprime un nuovo slancio all'Accademia che si dedica con rinato ardore all'indagine naturalistica, soprattutto per mano di Cesi che osserva e studia animali e piante, anche le più comuni e insignificanti, insistendo fortemente sul valore delle cose piccole (minima)

Se non si conoscono, raccolgono e possiedono le cose piccole, mai si riuscirà a raggiunger le cose grandi, nonché le massime…

A Galileo, e pochi altri, vengono affidate le discipline matematiche, meccaniche e fisiche.