L'otto gennaio del 1871 viene eletto presidente il geologo Giuseppe Ponzi dopo la rinuncia di Baldassarre Boncompagni. Fra i nuovi soci eletti nella stessa sessione figura Quintino Sella. Sebbene lo statuto sia sempre quello del 1847, si avverte la necessità di attuare alcuni profondi mutamenti, fra i quali dar seguito alla proposta di Terenzio Mamiani di creare la Classe di Scienze Morali e Filosofiche avanzata nella tornata del 4 dicembre 1870.
La volontà rinnovatrice si manifesta anche nella composizione dell'Accademia che, oltre a eleggere nuovi soci, sostituisce i soci scissionisti, cioè coloro che l'anno precedente si erano allontanati dai Lincei, dichiarati decaduti dopo due anni di assenza. Il prestigio scientifico dei nuovi soci sottolinea il progressivo passaggio dell'Accademia da realtà romana a nazionale. Sotto la presidenza Sella, a partire dal 1874, questa fase transitoria si completerà definitivamente. Nel 1872 vengono istituiti i primi sei premi ministeriali destinati agli insegnanti degli istituti tecnici e delle scuole.